تابع مولد گشتاور

تابع مولد گشتاور یا تابع مولد ممان یا ام جی اف

یک تابع پر مصرف در ریاضیات آمار و احتمالات است. با داشتن تابع مولد ممان یک متغیر تصادفی می‌توا ن توزیع توانی آن را بطور کامل تعریف نمود.

علاوه بر توزیع های یک متغیره تابع مولد گشتاور را می توان برای متغیرهای تصادفی برداری یا ماتریسی نیز تعریف کرد.تابع مولد گشتاور (بر خلاف تابع مشخصه) همیشه قابل تعریف نیست.

تعریف:

در آمار و احتمال تابع مولد گشتاور (MGF) برای متغیر تصادفی X به صورت زیر تعریف می شود. هر گاه این امید ریاضی وجود داشته باشد همیشه وجود دارد و مقدار آن برابر است.

نکته مهمی که درباره این تابع وجود دارد این است که این تابع ممکن است وجود نداشته باشد چون نمی توان گفت که انتگرال مطلقاهمگراست.

به صورت کلی اگر یک بردار بعدی تصادفی باشد به جای ااز استفاده میکنیم.

علت تعریف تابع مولد گشتاور به این شکل:

علت تعریف تابع مولد گشتاور به ایی شکل این است که میتوان از آن برای یافتن تمامی گشتاورها (moment) استفاده کرد.اگر تابع را بسط دهیم به عبارت زیر می رسیم. بنابراین که گشتاور iام است.

اگر از M_X(t) i بار مشتق بگیریم و قرار دهیم گشتاور iام نسبت به مبدا را به ما می دهد