احتمال شرطی A به شرط B با (P(A│B نشان داده میشود و با فرمول
(P(A│B) = P(AB)/P(B
تعریف میگردد، که در آن P(B)>0 این فرمول را میتوان به صورت زیر نوشت:
(P(AB) = P(B) P(A│B
که آن قانون ضرب احتمالها گوییم. به همین نحو ، احتمال شرطی B به شرط A را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
(P(B│A) = P(AB)/P(A
که منجر به رابطه (P(AB) = P(A) P(B|A میشود. بنابراین قانون ضرب احتمالها این تساوی را بیان میکند که حاصلضرب احتمال شرطی یک پیشامد در احتمال پیشامد شرطی کننده ، برابر است با احتمال اشتراک آن دو پیشامد.
دید کلی
اغلب لازم میآید که احتمال پیشامدی چون A، که با پیشامدی مانند B مربوط است، بعد از الاع بر وقوع یا عدم وقوع پیشامد B ، اصلاح گردد. بنابراین کسب اطلاعات درباره جنبهای از نتایج آزمایش ، ممکن است تجدید نظر در احتمال پیشامدی را که مربوط به جنبه دیکری از نتایج است، ایجاد کند. اجتمال تجدید نظر شده A ، وقتی معلوم شود که B رخ داده است، احتمال شرطی A به شرط B نامیده و با (P(A│B نشان داده میشود.
احتمال شرطی برای 3 پیشامد
قانون ضرب را میتوان برای بیش از دو پیشامد نیز تعمیم داد. در مورد سه پیشامد A ، B و C ، فرمول عبارت است از:
(P(ABC)=P(A) P(B|A) P(C|AB
احتمال شرطی برای دو پیشامد مستقل
اگر دو پیشامد A و B مستقل باشند آنگاه احتمال شرطی به صورت زیر است:
(P(A|B)=P(A
شرطهای زیر ، هم ارز شرط بالا هستند:
(P(B|A) = P(B یا (P(AB) = P(A) P(B
با توجه به شرط استقلال اگر آزمایشی مرکب از دو قسمت فیزیکی مستقل و نامربوط به هم باشد، و پیشامد A و B به قسمتهای جداگانه آن آزمایش مربوط شوند، به پیشامد AB احتمال (P(AB) = P(A) P(B را نسبت میدهیم